极限（入门）
趋近……
有时我们不能直接计算某个值……可是我们可以去看看逐渐接近它时的情形！
例子：
(x2 − 1)
(x − 1)
求 x=1 的值：
(12 − 1)
(1 − 1)
=
(1 − 1)
(1 − 1)
=
0
0
0/0 不好做！没有人知道 0/0 是多少（它是 "不确定的"），所以我们要另辟蹊径。
我们不直接求当 x=1 的值，我们 趋近 它来看看：
例子（续）：
x
(x2 − 1)
(x − 1)
0.5
1.50000
0.9
1.90000
0.99
1.99000
0.999
1.99900
0.9999
1.99990
0.99999
1.99999
……
……
现在我们看到当 x 越来越接近 1 的时候，
(x2−1)
(x−1)
越来越接近 2
这很有趣：
当 x=1，我们不知道答案（它是不确定的）
但我们也知道答案越来越接近 2
我们想说："答案就是 2"，但我们不能这样说，所以数学家用一个特别的名词来形容这种情况："极限"
当 x 趋近 1 时，
(x2−1)
(x−1)
的极限 是 2
用符号来写就是：
我们可以这样理解： "不管在那里是什么，当 x 越来越接近 1 时答案便越来越接近 2"
在图上是这样的：
因此，实际上我们不能说当 x=1 时的值是多少。
但我们可以说："趋近 1 时，极限是 2。"
两边都检验！
就像想看山顶是什么样的……
……如果我们只看山的一边，我们是看不到所有景象的。
所以我们需要从两个方向都检验，来确定答案 "应该" 是多少！
例子（续）
好，我们从另一边来：
x
(x2 − 1)
(x − 1)
1.5
2.50000
1.1
2.10000
1.01
2.01000
1.001
2.00100
1.0001
2.00010
1.00001
2.00001
...
...
也是趋近 2，所以没问题
两边的答案不一样
如果函数 f(x) 有个"间隙"，像这样：
极限在 "a" 处不存在
我们不能说在 "a" 的值是多少，因为有两个可能答案：
3.8 （从左边）
1.3 （从右边）
我们可以用特定的 "−" 或 "+" 符号（如下）来为一边的极限下定义：
左边 的极限（−）是 3.8
右边 的极限（+）是 1.3
但一般的极限"不存在"
只有复杂的函数才有极限吗？
就算我们真的知道函数在一点的值，我们也可以用极限！不一定要是复杂的函数.
例子：
我们知道 10/2 = 5，但我们仍然可以用极限（随你便！）
趋近无穷大
无穷大 是个很特别的概念。我们知道不能达到无穷大，但我们可以尝试去求含有无穷大的函数的值。
我们先看一个有趣的例子。
问题：1∞ 的值是多少？
答案：不知道！
为什么不知道？
简单的答案是：无穷大不是个数，它是个概念。
所以1∞ 就好像
1
美
or
1
高
一样。
我们也许可以说1∞= 0 …… 但这样也不对，因为如果我们把 1 切开成无穷多的小部分而每个部分是 0，那么整体怎么会是 1 呢？
其实1∞ 是 未定义的。
但我们可以趋近它！
我们无法计算在无穷大的值（因为得不到合理的答案），我们尝试越来越大的 x值：
x
1x
1
1.00000
2
0.50000
4
0.25000
10
0.10000
100
0.01000
1,000
0.00100
10,000
0.00010
当 x 越来越大时，
1
x
越来越接近 0
这很有意思：
我们不能说"当" x 是无穷大时的情形是什么
但我们可以看到
1
x
趋近 0
我们想说答案是 "0"，但我们不可以，所以数学家用特定名词 "极限" 来表达这种情形：
当 x 趋近无穷大时，1
x
的 极限 是 0
写下来是：
换句话说：
当 x 趋近无穷大时，
1
x
趋近 0
当你看到 "极限" 时，想："趋近"
这是用数学的语言来说：" 我们不是说当 x=∞，但我们知道当 x 越来越大时，答案便越来越接近 0"。
去这里看 在无穷大的极限。
解！
这好像有点偷懒和取巧，说一个极限等于某个值因为它好像越来越接近那个值。
这是不够的！
去 极限求值 来了解更多
极限求值代数索引